Question

【題目】如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過、、．過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．點(diǎn)是四邊形的對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且．

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出四邊形的形狀；

（2）當(dāng)點(diǎn)、從、兩點(diǎn)同時出發(fā)，均以每秒個長度單位的速度沿、方向運(yùn)動，點(diǎn)運(yùn)動到時、兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為秒，在運(yùn)動過程中，以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），四邊形為正方形；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；（3）在拋物線上存在點(diǎn)，，，，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

【解析】

（1）由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三點(diǎn)，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式中，聯(lián)立方程解出a、b、c；
（2）過M作MN⊥OE于N，則MN=2，由題意可知CP=FQ=t，當(dāng)0≤t<2時，OP=6－t，OQ=2－t，列出S與t的關(guān)系式，當(dāng)t=2時，Q與O重合，點(diǎn)M、O、P、Q不能構(gòu)成四邊形，當(dāng)2<t<6時，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可證三角形全等，進(jìn)而計算出三角形面積；
（3）若B、C、F、N為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，則四邊形有兩邊平行，設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，分類討論兩邊平行時N點(diǎn)坐標(biāo)滿足的條件，進(jìn)而求出N點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過、、，

∴，

，

解得，，．

∴拋物線的解析式為．

四邊形為正方形．

（2）連接．

根據(jù)題意，可知，，

∴，

∴，

∵運(yùn)動的時間為，

∴，

過作于，則，

當(dāng)時，，，

∴，

∴．

當(dāng)時，與重合，點(diǎn)、、、不能構(gòu)成四邊形，

當(dāng)時，連接，則且，

∵，，

∴，

∴，

∴四邊形的面積，

綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，．

（3）分三種情況：

①以為底邊時，經(jīng)過點(diǎn)作的平行線，與拋物線交于點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②以為底邊時，經(jīng)過點(diǎn)作的平行線，與拋物線交于點(diǎn)的坐標(biāo)為；

③以為底邊時，經(jīng)過點(diǎn)作的平行線，與拋物線交于點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

故在拋物線上存在點(diǎn)，，，，

使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．