【題目】已知拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣3(m是常數(shù)).
(1)證明:無(wú)論m取什么實(shí)數(shù),該拋物線與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A,與x軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為B,D,B在D的右側(cè),與y軸的交點(diǎn)為C.
①求證:當(dāng)m取不同值時(shí),△ABD都是等邊三角形;
②當(dāng)|m|≤,m≠0時(shí),△ABC的面積是否有最大值,如果有,請(qǐng)求出最大值,如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①證明見(jiàn)解析;②.
【解析】
(1)令y=0可得出關(guān)于x的一元二次方程,由該方程的根的判別式△=12>0,可證出:無(wú)論m取什么實(shí)數(shù),該拋物線與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,可求出點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo).
①在Rt△ABE中,利用勾股定理可得出AB=2BE可得出∠BAE=30°,同理,可得出∠DAE=30°及∠BAD=60°,再結(jié)合AB=AD即可證出:當(dāng)m取不同值時(shí),△ABD都是等邊三角形;
②分0<m≤及-≤m<0兩種情況找出S△ABC關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)或一次函數(shù)的性質(zhì)求出S△ABC的最大值,比較后即可得出結(jié)論.
(1)證明:令y=0,則有x2-2mx+m2-3=0.
∵△=(-2m)2-4×1×(m2-3)=12>0,
∴關(guān)于x的一元二次方程x2-2mx+m2-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴無(wú)論m取什么實(shí)數(shù),該拋物線與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)解:∵y=x2-2mx+m2-3=(x-m)2-3,
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,-3),
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,0);
當(dāng)x=0時(shí),y=x2-2mx+m2-3=m2-3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m2-3);
當(dāng)y=0時(shí),x2-2mx+m2-3=0,即(x-m)2=3,
解得:x1=m-,x2=m+,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m-,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m+,0).
①證明:在Rt△ABE中,AE=3,BE=m+-m=,
∴AB==2=2BE,
∴∠BAE=30°.
同理,可得出:∠DAE=30°,
∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=60°.
又∵AB=AD,
∴當(dāng)m取不同值時(shí),△ABD都是等邊三角形.
②分兩種情況考慮:
(i)當(dāng)0<m≤時(shí),如圖2所示.
S△ABC=S梯形OCAE+S△ABE-S△OCB,
=OE(OC+AE)+AEBE-OCOB,
=m(3-m2+3)+×3×(m+-m)-(3-m2)(m+),
=m2+m=(m+)2-,
∵>0,
∴當(dāng)0<m≤時(shí),S△ABC隨m的增大而增大,
∴當(dāng)m=時(shí),S△ABC取得最大值,最大值為3;
(ii)當(dāng)-≤m<0時(shí),如圖3所示.
S△ABC=S梯形EACO+S△OCB-S△ABE,
=OE(OC+AE)+OCOB-AEBE,
=-m(3-m2+3)+(3-m2)(m+)-(m+-m)(3-m2)=-m,
∵-<0,
∴當(dāng)-≤m<0時(shí),S△ABC隨m的增大而減小,
∴當(dāng)m=-時(shí),S△ABC取得最大值,最大值為.
∵3>,
∴當(dāng)m=時(shí),△ABC的面積取得最大值,最大值為3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)為了吸引顧客,設(shè)計(jì)了一種促銷活動(dòng):在一個(gè)不透明的箱子里放有4個(gè)相同的小球,球上分別標(biāo)有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字樣.規(guī)定:顧客在本商場(chǎng)同一日內(nèi),每消費(fèi)滿200元,就可以在箱子里先后摸出兩個(gè)球(第一次摸出后不放回),商場(chǎng)根據(jù)兩小球所標(biāo)金額的和返還相應(yīng)價(jià)格的購(gòu)物券,可以重新在本商場(chǎng)消費(fèi),某顧客剛好消費(fèi)200元.
(1)該顧客至少可得到 元購(gòu)物券,至多可得到 元購(gòu)物券;
(2)請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法,求出該顧客所獲得購(gòu)物券的金額不低于30元的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+2與坐標(biāo)軸相交于A,B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=在第一象限交點(diǎn)C(1,a).求:
(1)反比例函數(shù)的解析式;
(2)△AOC的面積;
(3)不等式x+2﹣<0的解集(直接寫(xiě)出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用小立方體搭一個(gè)幾何體,使它的主視圖和俯視圖如圖所示,俯視圖中小正方形中字母表示在該位置小立方體的個(gè)數(shù),請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)求的值;
(2)這個(gè)幾何體最少有幾個(gè)小立方體搭成,最多有幾個(gè)小立方體搭成;
(3)當(dāng)時(shí)畫(huà)出這個(gè)幾何體的左視圖.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,AD=6,若OA,OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根,且OA>OB.
(1)若點(diǎn)E為x軸上的點(diǎn),且△AOE的面積為.
求:①點(diǎn)E的坐標(biāo);②證明:△AOE∽△DAO;
(2)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系中,則在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A,C,F,M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0.
(1)若方程有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍;
(2)如果k是滿足條件的最大的整數(shù),且方程x2-2x+k=0一根的相反數(shù)是一元二次方程(m-1)x2-3mx-7=0的一個(gè)根,求m的值及這個(gè)方程的另一根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,BD為⊙O的弦,且AB∥CD,過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AE與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形ABCE是平行四邊形;
(2)若AE=6,CD=5,求OF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是函數(shù)上兩點(diǎn),為一動(dòng)點(diǎn),作軸,軸,下列說(shuō)法正確的是( )
①;②;③若,則平分;④若,則
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),交y軸于C點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于H點(diǎn),分別以OC、OA為邊作矩形AECO.
(1)求直線AC的解析式;
(2)如圖2,P為直線AC上方拋物線上的任意一點(diǎn),在對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)四邊形AOCP面積最大時(shí),求|PM﹣OM|的最大值.
(3)如圖3,將△AOC沿直線AC翻折得△ACD,再將△ACD沿著直線AC平移得△A'C′D'.使得點(diǎn)A′、C'在直線AC上,是否存在這樣的點(diǎn)D′,使得△A′ED′為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)D′的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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