【題目】根據(jù)所學(xué)知識完成小題:
(1)如圖1,銳角△ABC中,分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABE和等邊△ACD,連接BD,CE,試猜想BD與CE的大小關(guān)系,并說明理由.

(2)【深入探究】如圖2,△ABC中,∠ABC=45°,AB=5cm,BC=3cm,分別以AB、AC為邊向外作正方形ABNE和正方形ACMD,連接BD,求BD的長.

(3)如圖3,在(2)的條件下,以AC為直角邊在線段AC的左側(cè)作等腰直角△ACD,求BD的長.

【答案】
(1)解:BD=CE,理由如下:
∵△ABE和△ACD均是等邊三角形,
∴AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=60°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,
即∠CAE=∠BAD,
在△CAE和△BAD中,
,
∴△CAE≌△BAD,
∴CE=BD,
(2)解:連接BE,CE,如圖:
∵四邊形ABNE和四邊形ACMD均是正方形,
∴AE=AB,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,
即∠CAE=∠BAD,
在△CAE和△BAD中,
,
∴△CAE≌△BAD,
∴CE=BD,
又∵四邊形ABNE正方形,AB=5cm
∴∠ABE=45°,BE=5,
∵∠ABC=45°,
∴∠CBE=∠ABE+∠ABC=90°,
又∵BC=3cm,
∴CE==,
∴BD=.

(3)解:作AE⊥AB,交BC延長線于點E,如圖:
∴∠BAE=90°,
∵∠ABC=45°,
∴AB=AE,
又∵△ACD為等腰直角三角形
∴AD=AC,∠DAC=90°,
∴∠CAE+∠BAC=∠DAB+∠BAC,
即∠CAE=∠BAD,
在△CAE和△BAD中,
,
∴△CAE≌△BAD,
∴CE=BD,
在Rt△CAB中,
∵AB=AE=5cm,BC=3cm,
∴BE=5cm,
∴CE=BE-BC=5-3(cm),
∴BD=5-3(cm).

【解析】(1)BD=CE,理由如下:
由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=60°,再由等量代換得出∠CAE=∠BAD,根據(jù)SAS得出△CAE≌△BAD,再由全等三角形的對應(yīng)邊相等得出CE=BD.
(2)連接BE,CE,如圖:由正方形的性質(zhì)得出AE=AB,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°,再由等量代換得出∠CAE=∠BAD,根據(jù)SAS得出△CAE≌△BAD,再由全等三角形的對應(yīng)邊相等得出CE=BD;再由正方形性質(zhì)得出,BE=5,結(jié)合已知條件得出∠CBE=90°,根據(jù)勾股定理得出CE=,即BD的長.
(3)作AE⊥AB,交BC延長線于點E,如圖:由垂直和等腰三角形的性質(zhì)得出AB=AE,AD=AC,再由等量代換得出∠CAE=∠BAD,根據(jù)SAS得出△CAE≌△BAD,再由全等三角形的對應(yīng)邊相等得出CE=BD;在Rt△CAB中,由勾股定理得出BE值,從而求出BD長.
【考點精析】認真審題,首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°),還要掌握等邊三角形的性質(zhì)(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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(1)通過計算(可用計算器)比較下列①⑦組兩數(shù)的大。(在橫線上填上“>”“=”“<”)

12__________21;23__________32;34__________43;45__________5456__________65;67__________76;78__________87;

(2)歸納第(1)問的結(jié)果,可以猜想出nn+1(n+1)n的大小關(guān)系;

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