Question

【題目】高斯上小學時，有一次數(shù)學老師讓同學們計算“從1到100這100個正整數(shù)的和”．許多同學都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常繁瑣，且易出錯．聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程．

解：設S＝1+2+3+…+100 ①

則S＝100+99+98+…+1 ②

①+②，得（即左右兩邊分別相加）：

2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1），

＝，

＝100×101，

所以，S＝③，

所以，1+2+3+…+100＝5050．

后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．請你利用“倒序相加法”解答下面的問題．

（1）計算：1+2+3+…+101；

（2）請你觀察上面解答過程中的③式及你運算過程中出現(xiàn)的類似③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　；

（3）至少用兩種方法計算：1001+1002+…+2000．

方法1：

方法2：

Answer 1

【答案】（1）5151；（2），（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題目中的例子可以求得所求式子的值；
（2）根據(jù)題目中的例子，可以寫出猜想的結果；
（3）根據(jù)題目中的例子可以用兩種方法求出所求式子的值

（1）設S＝1+2+3+…+101①，

則S＝101+100+…+3+2+1②，

①+②，得

2S＝102+102+102+…+102＝101×102，

∴S＝＝5151，

即1+2+3+…+101＝5151；

（2）猜想：1+2+3+…+n＝，

故答案為：；

（3）方法一：1001+1002+…+2000

＝（1+2+3+…+2000）﹣（1+2+3+…+1000）

＝﹣

＝2001000﹣500500

＝1500500；

方法2：設S＝1001+1002+…+2000，

則S＝2000+1999+…+1001，

兩式相加，得

2S＝1000×3001，

則S＝＝1500500，

即1001+1002+…+2000＝1500500．