Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=；（3）當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形．

【解析】

試題（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）設(shè)出發(fā)秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=，BP=，列式求得即可；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得；

②當(dāng)CQ=BC時(shí)（如圖2），則BC+CQ=12，易求得；

③當(dāng)BC=BQ時(shí)（如圖3），過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出．

試題解析：（1）BQ=2×2=4cm，BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，∵∠B=90°，

PQ=；

（2）BQ=，BP=，，解得：；

（3）①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴=11÷2=5.5秒．

②當(dāng)CQ=BC時(shí)（如圖2），則BC+CQ=12，∴=12÷2=6秒．

③當(dāng)BC=BQ時(shí)（如圖3），過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則BE=，所以CE=，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，當(dāng)為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形．