Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD=120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF．證明只有點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，EF+BF取最小值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求得最小值．

連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF，延長(zhǎng)BA，DH⊥BA于H，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC，BD互相垂直平分，

∴點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為D，

∴FD=FB，

∴FE+FB=FE+FD≥DE．

只有當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，取等號(hào)（兩點(diǎn)之間線段最短），

△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，

∴∠HAD=60°，

∵DH⊥AB，

∴AH=AD，DH=AD，

∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E為AB的中點(diǎn)，

∴AE=3，AH=3，

∴EH=6，DH=，

在Rt△EHD中，DE=，

∴EF+BF的最小值為．

故答案為：．