【題目】如圖,已知拋物線yax+2)(x4)(a為常數(shù),且a0)與x軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y=﹣x+拋物線的另一交點(diǎn)為D,且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5

1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)Px,y)使得SBCDSABP,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接AF,求2AF+DF的最小值.

【答案】1yx2x;(2(,)();(3

【解析】

1)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出a的值即可.

2)如圖1中,設(shè)直線BDy軸于J,則J0,).連接CD,BC.由SPAB10,推出×6×|yP|10,推出yP,再利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

3)如圖2中,過(guò)點(diǎn)DDM平行于x軸,首先證明∠BDM=∠DBA30°,過(guò)FFJDMJ,則有sin30°,推出HF,推出2AF+DF2AF+)=2AF+HF),當(dāng)A、F、H三點(diǎn)共線時(shí),即AHDM時(shí),2AF+DF2AF+HF)取最小值.

解:(1)拋物線yax+2)(x4),令y0,解得x=﹣2x4,

A(﹣20),B4,0).

∵直線y,

當(dāng)x=﹣5時(shí),y

D(﹣5),

∵點(diǎn)D(﹣5,3)在拋物線yax+2)(x4)上,

a(﹣5+2)(﹣54)=,

a

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y

2)如圖1中,設(shè)直線BDy軸于J,則J0,).連接CDBC

SBDC

SPAB,

×6×|yP|

yP,

當(dāng)y時(shí), ,

解得x,

P

當(dāng)

方程無(wú)解,

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(3)如圖2中,過(guò)點(diǎn)D作DM平行于x軸,作FH⊥DM于H,

D,B40),

tanDBA,

∴∠DBA30°

∴∠BDM=∠DBA30°,過(guò)FFJDMJ,

則有sin30°

,

2AF+DF2AF+)=2AF+HF),當(dāng)A、F、H三點(diǎn)共線時(shí),

AHDM時(shí),2AF+DF2AF+HF)取最小值

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