Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，E為BC的中點．⊙O與邊BC相切于點E，并交邊AD于點M、N，AM＝3．

（1）求⊙O的半徑；

（2）將矩形ABCD繞點E順時針旋轉，旋轉角為（0°＜≤90°）．在旋轉的過程中，⊙O和矩形ABCD的邊是否能夠相切，若能，直接寫出相切時，旋轉角的正弦值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ⊙O的半徑為3.4．

【解析】

（1）如圖①，連接EO并延長，交AD于點F，連接OM．根據(jù)矩形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)求得FM=3，設⊙O的半徑為r，則OM＝OE＝r，OF＝5－r．在Rt△OFM中，根據(jù)勾股定理即可求得半徑的長.

（2）如圖②，A'B'與⊙O相切，切點為Q，此時旋轉角為∠BEB'，作OP⊥B'E，連接OQ，OE，易證∠POE＝∠BEB'，OQ＝PB'＝OE，由（1）得OQ＝PB'＝OE＝3.4，PE＝6－3.4＝2.6，即sin∠BEB'＝sin∠POE＝；如圖③，A'D'與⊙O相切，切點為Q，此時旋轉角為∠BEB'，作OP⊥B'E，連接OQ，OE，易證∠POE＝∠BEB'，OQ＋OP＝A'B'，由（1）得OQ＝OE＝3.4，OP＝5－3.4＝1.6，根據(jù)勾股定理，可得PE＝3，即sin∠BEB'＝sin∠POE＝．

解：（1）如圖①，連接EO并延長，交AD于點F，連接OM．

∵ ⊙O與BC相切于點E，∴ OE⊥BC．

在矩形ABCD中，

AD∥BC，AD＝BC＝12，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

∴ 四邊形ABEF和四邊形DCEF是矩形．

∴ AF＝BE，DF＝CE，EF＝AB＝5．

∵ BE＝CE，∴ AF＝DF．

∵ OE⊥BC，AD∥BC，∴ OF⊥AD．∴ MF＝NF．

∵ AF＝6，AM＝3，∴ FM＝3．

設⊙O的半徑為r，則OM＝OE＝r，OF＝5－r．

在Rt△OFM中，根據(jù)勾股定理，得32＋(5－r)2＝r2．

解這個方程，得r＝3.4．

即⊙O的半徑為3.4．

（2），．

如圖②，A'B'與⊙O相切，切點為Q，此時旋轉角為∠BEB'，作OP⊥B'E，連接OQ，OE，

∵∠BEO＝90°，OP⊥B'E

∴∠BEB'+∠PEO=90°，∠POE+∠PEO=90°

∴∠POE＝∠BEB'，OQ＝PB'＝OE，

由（1）得OQ＝PB'＝OE＝3.4，PE＝6－3.4＝2.6，即sin∠BEB'＝sin∠POE＝；

如圖③，A'D'與⊙O相切，切點為Q，此時旋轉角為∠BEB'，作OP⊥B'E，連接OQ，OE，

∵∠BEO＝90°，OP⊥B'E

∴∠BEB'+∠PEO=90°，∠POE+∠PEO=90°

∴∠POE＝∠BEB'，OQ＋OP＝A'B'，由（1）得OQ＝OE＝3.4，OP＝5－3.4＝1.6，根據(jù)勾股定理，可得PE＝3，即sin∠BEB'＝sin∠POE＝．