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【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點(diǎn)OAD上一動點(diǎn)(4OA8),以O為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M,連接OM,過點(diǎn)M作圓O的切線交邊BC于點(diǎn)N.

1)求證:△ODM∽△MCN;

2)設(shè)DM=x,求OA的長(用含x的代數(shù)式表示);

3)在點(diǎn)O運(yùn)動的過程中,設(shè)△CMN的周長為p,試用含x的代數(shù)式表示p,你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論?

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【題目】10分)一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如圖1,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點(diǎn)分別在AB、AC上.

1)求證:△AEF∽△ABC;

2)求這個正方形零件的邊長;

3)如果把它加工成矩形零件如圖2,問這個矩形的最大面積是多少?

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【題目】RtABC中,∠BAC=90°,過點(diǎn)B的直線MNAC,DBC邊上一點(diǎn),連接AD,作DEADMN于點(diǎn)E,連接AE.

(1)如圖①,當(dāng)∠ABC=45°時,求證:AD=DE;理由;

(2)如圖②,當(dāng)∠ABC=30°時,線段ADDE有何數(shù)量關(guān)系?并請說明理由;

(3)當(dāng)∠ABC=α時,請直接寫出線段ADDE的數(shù)量關(guān)系.(用含α的三角函數(shù)表示)

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【題目】已知點(diǎn)E在△ABC內(nèi),∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°.

(1)當(dāng)α=60°時(如圖1),

①判斷△ABC的形狀,并說明理由;

②求證:BD=AE;

(2)當(dāng)α=90°時(如圖2),求的值.

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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過點(diǎn)B作射線BB1∥AC.動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運(yùn)動,同時動點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運(yùn)動.過點(diǎn)D作DH⊥AB于H,過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點(diǎn),連接DG.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時間為t秒.

(1)當(dāng)t為何值時,AD=AB,并求出此時DE的長度;

(2)當(dāng)△DEG與△ACB相似時,求t的值.

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【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為20cm,∠ABC120°.動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)A出發(fā),其中P4cm/s的速度,沿ABC的路線向點(diǎn)C運(yùn)動;Q2cm/s的速度,沿AC的路線向點(diǎn)C運(yùn)動.當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時,整個運(yùn)動隨之結(jié)束,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.

1)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中,請判斷PQ與對角線AC的位置關(guān)系,并說明理由;

2)若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對角線交點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為M,過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD(或CD)于點(diǎn)N

①當(dāng)t為何值時,點(diǎn)P、MN在一直線上?

②當(dāng)點(diǎn)P、M、N不在一直線上時,是否存在這樣的t,使得PMN是以PN為一直角邊的直角三角形?若存在,請求出所有符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.

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【題目】將兩塊全等的三角板如圖1擺放,其中∠A1CB1=∠ACB90°,∠A1=∠A30°

1)將圖1A1B1C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,點(diǎn)P1A1CAB的交點(diǎn),點(diǎn)QA1B1BC的交點(diǎn),求證:CP1CQ;

2)在圖2中,若AP1a,則CQ等于多少?

3)將圖2A1B1C點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)到A2B2C(如圖3),點(diǎn)P2A2CAP1的交點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時,有AP1C∽△CP1P2?這時線段CP1P1P2之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系?.

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【題目】 已知,如圖邊長為2的正方形ABCD中,∠MAN的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn), 且∠MAN=45.

(1)求證:MN=BM+DN.

(2)若AM、AN交對角線BD于E、F兩點(diǎn),設(shè)BF=y,DE=x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

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【題目】某實(shí)踐小組去公園測量人工湖AD的長度.小明進(jìn)行如下測量:點(diǎn)D在點(diǎn)A的正北方向,點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東50°方向,AB=40米.點(diǎn)E在點(diǎn)B的正北方向,點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏東30°方向,CE=30米.點(diǎn)C和點(diǎn)E都在點(diǎn)D的正東方向,求AD的長(結(jié)果精確到1米).(參考數(shù)據(jù):≈1.732,sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192)

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【題目】如圖,一只貓頭鷹蹲在一棵樹ACB(點(diǎn)BAC上)處,發(fā)現(xiàn)一只老鼠躲進(jìn)短墻DF的另一側(cè),貓頭鷹的視線被短墻遮住,為了尋找這只老鼠,它又飛至樹頂C處,已知短墻高DF=4米,短墻底部D與樹的底部A的距離為2.7米,貓頭鷹從C點(diǎn)觀測F點(diǎn)的俯角為53°,老鼠躲藏處M(點(diǎn)MDE上)距D點(diǎn)3米.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80tan37°≈0.75

(1)貓頭鷹飛至C處后,能否看到這只老鼠?為什么?

(2)要捕捉到這只老鼠,貓頭鷹至少要飛多少米(精確到0.1米)?

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