Question

8．設(shè)平面向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$滿足|$\overrightarrow{OA}$|=2、|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，點P滿足$\overrightarrow{OP}=\frac{m}{{\sqrt{2{m^2}+2{n^2}}}}\overrightarrow{OA}+\frac{{\sqrt{2}n}}{{\sqrt{{m^2}+{n^2}}}}\overrightarrow{OB}$，其中m≥0，n≥0，則點P所表示的軌跡長度為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}π}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到OA⊥OB，從而可分別以O(shè)A，OB為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，從而可以得到$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OB}=（0，1）$，從而可得出向量$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)，可設(shè)P（x，y），從而可得到x²+y²=2（x≥0，y≥0），這樣即可求出點P所表示的軌跡長度．

解答 解：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$；
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
∴分別以O(shè)A，OB為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：
A（2，0），B（0，1）；
∴$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OB}=（0，1）$；
∴$\overrightarrow{OP}=（\frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}，\frac{\sqrt{2}n}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}）$，設(shè)P（x，y），$\overrightarrow{OP}=（x，y）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}}\\{y=\frac{\sqrt{2}n}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}}\end{array}\right.$；
∴x²+y²=2，（x≥0，y≥0）；
∴P點的軌跡表示以原點為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的圓在第一象限的部分；
∴點P所表示的軌跡長度為$\frac{1}{4}•2π•\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$．
故選D．

點評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及向量坐標(biāo)的數(shù)乘運算，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的周長公式．