Question

17．若y³（x+$\frac{1}{{x}^{2}y}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為84．

Answer 1

分析 寫出二項(xiàng)式（x+$\frac{1}{{x}^{2}y}$）ⁿ的展開式的通項(xiàng)，可得y³（x+$\frac{1}{{x}^{2}y}$）ⁿ的展開式的通項(xiàng)，再由x，y的指數(shù)為0求得n，r的值，則答案可求．

解答 解：二項(xiàng)式（x+$\frac{1}{{x}^{2}y}$）ⁿ的展開式的通項(xiàng)為${T}_{r+1}={C}_{n}^{r}{x}^{n-r}（\frac{1}{{x}^{2}y}）^{r}={C}_{n}^{r}{x}^{n-3r}{y}^{-r}$，
則要使y³（x+$\frac{1}{{x}^{2}y}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，
需$\left\{\begin{array}{l}{3-r=0}\\{n-3r=0}\end{array}\right.$，即n=9，r=3．
∴常數(shù)項(xiàng)為：${C}_{9}^{3}=\frac{9!}{3!•6!}=84$．
故答案為：84．

點(diǎn)評 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，是基礎(chǔ)題．