Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-2ax+1+lnx
（Ⅰ）當a=0時，若函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點A處的切線斜率為k，求k的最小值，并求此時的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的極大值點為x₁，證明：x₁lnx₁-ax₁²＞-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導數(shù)，由基本不等式可得斜率的最小值，及切點，運用點斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，討論判別式的符號，設出二次方程的兩根，運用韋達定理和構造函數(shù)$h（x）=-\frac{{{x_{\;}}^3}}{2}-\frac{1}{2}{x_{\;}}+xlnx$，x∈（0，1），求出導數(shù)，求得單調區(qū)間和極值、最值，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）∵a=0，∴$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+1+lnx（x＞0）$，
∴$f'（x）=x+\frac{1}{x}≥2$，當僅當$x=\frac{1}{x}$時，即x=1時，f'（x）的最小值為2，
∴斜率k的最小值為2，切點A$（1，\frac{3}{2}）$，
∴切線方程為$y-\frac{3}{2}=2（x-1）$，即4x-2y-1=0；
（Ⅱ）∵$f'（x）=x-2a+\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-2ax+1}}{x}（x＞0）$，
①當-1≤a≤1時，f（x）單調遞增無極值點，不符合題意；
②當a＞1或a＜-1時，令f'（x）=0，設x²-2ax+1=0的兩根為x₁和x₂，
因為x₁為函數(shù)f（x）的極大值點，所以0＜x₁＜x₂，
又x₁x₂=1，x₁+x₂=2a＞0，∴a＞1，0＜x₁＜1，
∴f′（x₁）=0，${x_1}^2-2a{x_1}+\frac{1}{x_1}=0$，則$a=\frac{{{x_1}^2+1}}{{2{x_1}}}$，
∵${x_1}ln{x_1}-a{x_1}^2$=${x_1}ln{x_1}-\frac{{{x_1}^3+{x_1}}}{2}$=$-\frac{{{x_1}^3}}{2}-\frac{1}{2}{x_1}+{x_1}ln{x_1}$，x₁∈（0，1），
令$h（x）=-\frac{{{x_{\;}}^3}}{2}-\frac{1}{2}{x_{\;}}+xlnx$，x∈（0，1），
∴${h^'}（x）=-\frac{{3{x_{\;}}^2}}{2}+\frac{1}{2}+lnx$，∴h′（x）=-3x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-3{x}^{2}}{x}$，x∈（0，1），
當$0＜x＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，h′（x）＞0，當$\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜x＜1$時，h′（x）＜0，
∴h′（x）在$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$上單調遞增，在$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$上單調遞減，
∴${h^'}（x）≤{h^'}（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=-ln\sqrt{3}＜0$，
∴h（x）在（0，1）上單調遞減．
∴h（x）＞h（1）=-1，原題得證．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉化思想的運用，以及構造函數(shù)的方法，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．