Question

已知圓S經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（7，8）和點(diǎn)B（8，7），圓心S在直線2x-y-4=0上．
（1）求 圓S的方程
（2）若直線x+y-m=0與圓S相交于C，D兩點(diǎn)，若∠COD為鈍角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）線段AB的中垂線方程：y=x，聯(lián)立

2r-y-4=0 y=x

，得S（4，4），由此能求出圓S的半徑|SA|．
（2）由x+y-m=0，變形得y=-x+m，代入圓S的方程，得2x²-2mx+m²-8m+7=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）線段AB的中垂線方程：y=x，
聯(lián)立

2r-y-4=0 y=x

，得S（4，4），
∵A（7，8），
∴圓S的半徑|SA|=

(7-4)2+(8-4)2

=5．
（2）由x+y-m=0，變形得y=-x+m，
代入圓S的方程，得2x²-2mx+m²-8m+7=0，
令△=（2m）²-8（m²-8m+7）＞0，
得8-5

2

＜m＜8+5

2

，
設(shè)點(diǎn)C，D上的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=m，x1x2=

m2-8m+7

2

，
依題意，得

OC

•

OD

＜0，
∴x₁x₂+（-x₁+m）（-x₂+m）＜0，
m²-8m+7＜0，
解得1＜m＜7．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，7）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的半徑的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．