Question

設(shè)m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為19．則f（x）展開(kāi)式中x²的系數(shù)的最大、小值分別為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的x的系數(shù)，列出方程得到m，n的關(guān)系；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出x²的系數(shù)，將m，n的關(guān)系代入得到關(guān)于m的二次函數(shù)，配方求出最值．

解答： 解：f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為m+n=19，
展開(kāi)式中x²的系數(shù)為

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

（m²+n²-m-n）=

1

2

[m²-m+（19-m）²-（19-m）]
=

1

2

（2m²-38m+19×18）=m²-19m+171=(m-

19

2

)2+

19×17

4

．
由題意可得，1≤m≤18．
∵m，n∈N^*，∴當(dāng)m=9或10時(shí)，即m=10，n=9； 或m=9，n=10時(shí)，x²項(xiàng)的系數(shù)取得最小值，最小值為81．
當(dāng)m=1或18時(shí)，即 m=1，n=18； 或m=18，n=1時(shí)，x²項(xiàng)的系數(shù)取得最大值，最大值為153，
故答案為：153，81．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特殊項(xiàng)問(wèn)題；利用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．