Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2-a_n，n=1，2，3…
（1）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若b_n=log₂a_n，求證{b_n}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=2-a_n，可求得a₁=1，取n=n-1得另一遞推式，作差后可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）求出{a_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=log₂a_n，整理后可得{b_n}是公差為-1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答： 證明：（1）由S_n=2-a_n，得a₁=S₁=2-a₁，即a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2-a_n-1，
兩式作差得：a_n=-a_n+a_n-1，即2a_n=a_n-1，
∵a₁=1≠0，
∴

an

an-1

=

1

2

．
即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）∵{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴an=a1qn-1=

1

2n-1

，
則b_n=log₂a_n=log2

1

2n-1

=1-n，
∴b_n+1-b_n=1-（n+1）-1+n=-1．
∴{b_n}是公差為-1的等差數(shù)列，
又b₁=1-1=0，
∴b_n=b₁+（n-1）d=0-1×（n-1）=-n+1．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系和等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，中檔題．