Question

已知S_n=4-a_n-

1

2n-2

，求a_n與S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式求出首項，取n=n-1得另一遞推式，作差后可得數(shù)列{2ⁿa_n}構成以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求得a_n，然后利用錯位相減法求出其前n項和S_n．

解答： 解：由S_n=4-a_n-

1

2n-2

，得a1=S1=4-a1-

1

2-1

，解得：a₁=1；
當n≥2時，Sn-1=4-an-1-

1

2n-3

，
兩式作差得：an=-an+an-1-

1

2n-2

+

1

2n-3

，
即an=

1

2

an-1+

1

2n-1

．
∴2nan-2n-1an-1=2（n≥2），
∴數(shù)列{2ⁿa_n}構成以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
則2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n，
∴an=

n

2n-1

；
Sn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
兩式作差得：

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

，
∴Sn=4(1-

1

2n

)-

n

2n-1

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．