Question

10．甲、乙、丙三名高二學(xué)生計(jì)劃利用今年“五一”三天小長假在附近的五個(gè)景點(diǎn)（五個(gè)景點(diǎn)分別是：荊州古城、三峽大壩、古隆中、明顯陵、西游記公園）每人彼此獨(dú)立地選三個(gè)景點(diǎn)游玩．其中甲同學(xué)必選明顯陵，不選西游記公園，另從其余中隨機(jī)任選兩個(gè)；乙、丙兩名同學(xué)從五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)任選三個(gè)．
（1）求甲同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)且乙同學(xué)未選中三峽大壩景點(diǎn)的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙選中三峽大壩景點(diǎn)的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A為“甲同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)”、事件B為“乙同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)”，分別求出事件A和B的概率，由事件A與事件B相互獨(dú)立，能求出甲同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)且乙同學(xué)未選中三峽大壩景點(diǎn)的概率．
（2）設(shè)事件C為“丙同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)”，求出事件C的概率，X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)事件A為“甲同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)”、事件B為“乙同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)”，
則$p（A）=\frac{C_2^1}{C_3^2}=\frac{2}{3}$，$p（B）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，…（3分）
∵事件A與事件B相互獨(dú)立，
∴甲同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)且乙同學(xué)未選中三峽大壩景點(diǎn)的概率為：
$p（A\bar B）=P（A）P（\bar B）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$．…．（5分）
（2）設(shè)事件C為“丙同學(xué)選中三峽大壩景點(diǎn)”，
則$p（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，
X的所有可能取值為0，1，2，3…．（7分）
$p（X=0）=P（\bar A\bar B\bar C）=\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{4}{75}$，
$P（X=1）=P（A\bar B\bar C）+P（\bar AB\bar C）+P（\bar A\bar BC）=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{20}{75}$，
$P（X=2）=P（AB\bar C）+P（A\bar BC）+P（\bar ABC）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{33}{75}$，
$p（X=3）=P（ABC）=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{18}{75}$，…（9分）
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

∴$E（X）=0×\frac{4}{75}+1×\frac{20}{75}+2×\frac{33}{75}+3×\frac{18}{75}=\frac{140}{75}=\frac{28}{15}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分豐列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．