Question

10．有一種密碼，明文由三個(gè)字母組成，密碼由明文的這三個(gè)字母對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字組成．編碼規(guī)則如下表．明文由表中每一排取一個(gè)字母組成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，對(duì)應(yīng)的密碼由明文所取的三個(gè)字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組組成．（如：明文取的三個(gè)字母為AFP，則與它對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字（密碼）就為11223）

第一排	明文字母	A	B	C
	密碼數(shù)字	11	12	13
第二排	明文字母	E	F	G
	密碼數(shù)字	21	22	23
第三排	明文字母	M	N	P
	密碼數(shù)字	1	2	3

（1）假設(shè)密碼是11211，求這個(gè)密碼對(duì)應(yīng)的明文；
（2）設(shè)隨機(jī)變量ξ表示密碼中所含不同數(shù)字的個(gè)數(shù)．
①求P（ξ=2）；
②求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意對(duì)照表格當(dāng)中明文字母和密碼數(shù)字即可求解；
（2）①：分析表格中數(shù)據(jù)可知ξ=2只能取表格中第1，2列中的數(shù)字作為密碼，再根據(jù)古典概型即可求解，
②：窮舉所有可能的ξ的取值及其對(duì)應(yīng)情況，再根據(jù)古典概型計(jì)算其對(duì)應(yīng)概率即可得到概率分布和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）根據(jù)題意對(duì)照表格當(dāng)中明文字母和密碼數(shù)字，從而可知對(duì)應(yīng)明文為AEM；
（2）①：∵密碼的第1排都含有數(shù)字1，第二排都還有數(shù)字2，
∴ξ=2時(shí)，只能取表格中的第1，2列中的數(shù)字作為密碼，
∴$P（ξ=2）=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$；
②：由題意可知，ξ的取值為2，3兩種情況，
∴P（ξ=3）=1-P（ξ=2）=$1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$，
∴ξ的分布列如下所示：

ξ	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{19}{27}$

∴$E（ξ）=2×\frac{8}{27}+3×\frac{19}{27}=\frac{73}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率計(jì)算，離散性隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題．