20．（請用分析法證明）若a＞0，求證：$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$-$\sqrt{2}$≥$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$-2．

分析 運用分析法證明，通過兩邊平方和不等式的性質(zhì)，化簡整理，再由均值不等式即可得證．

解答 證明：要證$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$-$\sqrt{2}$≥$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$-2，
只需證$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$+2≥$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{2}$，
兩邊平方，即為a+$\frac{1}{a}$+4+4$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$≥a+$\frac{1}{a}$+2+2$\sqrt{2}$（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$）+2，
即證$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$），
兩邊平方可得a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{2}$（a+$\frac{1}{a}$+2），
即證a+$\frac{1}{a}$≥2，由a＞0，a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，上式顯然成立．
故原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分析法證明，通過平方法和不等式的性質(zhì)，及均值不等式，考查推理能力，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．有一種密碼，明文由三個字母組成，密碼由明文的這三個字母對應(yīng)的五個數(shù)字組成．編碼規(guī)則如下表．明文由表中每一排取一個字母組成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，對應(yīng)的密碼由明文所取的三個字母對應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組組成．（如：明文取的三個字母為AFP，則與它對應(yīng)的五個數(shù)字（密碼）就為11223）
第一排明文字母ABC
密碼數(shù)字111213
第二排明文字母EFG
密碼數(shù)字212223
第三排明文字母MNP
密碼數(shù)字123
（1）假設(shè)密碼是11211，求這個密碼對應(yīng)的明文；
（2）設(shè)隨機(jī)變量ξ表示密碼中所含不同數(shù)字的個數(shù)．
①求P（ξ=2）；
②求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．?dāng)?shù)列{an}中，a1=1，Sn表示前n項和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數(shù)列．
（1）計算S1，S2，S3的值；
（2）根據(jù)以上結(jié)果猜測Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．某職業(yè)學(xué)校有2000名學(xué)生，校服務(wù)部為了解學(xué)生在校的月消費情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，并將統(tǒng)計結(jié)果繪成直方圖如圖：
（Ⅰ）試估計該校學(xué)生在校月消費的平均數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)校服務(wù)部以往的經(jīng)驗，每個學(xué)生在校的月消費金額x（元）和服務(wù)部可獲得利潤y（元），滿足關(guān)系式：$y=\left\{\begin{array}{l}20，\;\;\;200≤x＜400\\ 40，\;\;400≤x＜800\\ 80，\;\;800≤x≤1200.\end{array}\right.$根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，回答下列問題：
（�。⿲τ谌我庖粋�學(xué)生，校服務(wù)部可獲得的利潤記為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（ⅱ）若校服務(wù)部計劃每月預(yù)留月利潤的$\frac{2}{9}$，用于資助在校月消費低于400元的學(xué)生，那么受資助的學(xué)生每人每月可獲得多少元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知集合S=$\left\{{k\left|{1≤k≤\frac{{{3^n}-1}}{2}，k∈{N^*}}\right.}\right\}$（n≥2，且n∈N*）．若存在非空集合S1，S2，…，Sn，使得S=S1∪S2∪…∪Sn，且Si∩Sj=∅（1≤i，j≤n，i≠j），并?x，y∈Si（i=1，2，…，n），x＞y，都有x-y∉Si，則稱集合S具有性質(zhì)P，Si（i=1，2，…，n）稱為集合S的P子集．
（Ⅰ）當(dāng)n=2時，試說明集合S具有性質(zhì)P，并寫出相應(yīng)的P子集S1，S2；
（Ⅱ）若集合S具有性質(zhì)P，集合T是集合S的一個P子集，設(shè)T′={s+3n|s∈T}，求證：?x，y∈T∪T′，x＞y，都有x-y∉T∪T′；
（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)n≥2，集合S具有性質(zhì)P．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知經(jīng)過原點O的直線l與圓C：x2+y2-4x-1=0交于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線m：ax-2y+a+2=0（a＞0）與圓C相切，切點為B，求直線l的方程；
（Ⅱ）若圓C與x軸的正半軸的交點為D，求△ABD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為12πcm3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知a，b，c∈R+，求證：$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}$+$\frac{ab}{c}$≥a+b+c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．當(dāng)x＞y＞e-1時，證明不等式：exln（1+y）＞eyln（1+x）．

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