Question

19．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），再以原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立坐標系，并使得它與直角坐標系有相同的長度單位，在該極坐標系中圓C的方程為ρ=4sinθ．
（1）求圓C的直角坐標方程；
（2）設(shè)圓C與直線l交于點A，B，若點M的坐標為（-2，1），求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，能求出圓C的直角坐標方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，化簡整理，再由韋達定理結(jié)合已知條件能求出|MA|+|MD|的值．

解答 解：（1）圓C的方程為ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，
∴圓C的直角坐標方程為x²+y²-4y=0．
即x²+（y-2）²=4．
（2）|MA|+|MB|的值將直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程，得：
（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（2-$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²=4，
整理，得${t}^{2}-3\sqrt{2}t+1=0$，
△=18-4=14＞0，設(shè)t₁，t₂為方程的兩個實根，
則${t}_{1}+{t}_{2}=3\sqrt{2}$，t₁t₂=1，∴t₁，t₂均為正數(shù)，
又直線l過M（-2，1），
由t的幾何意義得：
|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=${t}_{1}+{t}_{2}=3\sqrt{2}$．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，同時考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線參數(shù)方程的運用，是基礎(chǔ)題．