Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x-$\sqrt{3}$y-4=0相切．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）圓O與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓O內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求P點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀．

Answer 1

分析 析：（1）圓心到直線的距離求半徑．（2）由|PO|²=|PA|．|PB|平方化簡得x²-y²=2，注意曲線是已知圓的內(nèi)部．

解答 解：（Ⅰ） 依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線$x-\sqrt{3}y-4=0$的距離，
則$r=\frac{4}{{\sqrt{1+3}}}=2$，
得圓O的方程為x²+y²=4…（5分）
（Ⅱ）不妨設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，
由x²=4即得A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列得，$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}•\sqrt{{{（x-2）}^2}-{y^2}}={x^2}+{y^2}$，
即x²-y²=2…（9分）
由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}＜4\\{x^2}-{y^2}=2\end{array}\right.$
由此得$-\sqrt{3}＜x≤-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}≤x＜\sqrt{3}$
所以所求軌跡方程為x²-y²=2（$-\sqrt{3}＜x≤-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}≤x＜\sqrt{3}$）…（11分）
即P點(diǎn)的軌跡為雙曲線x²-y²=2
在圓x²+y²=4內(nèi)的一部分…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了直接法來求軌跡方程，平方化簡是一個難點(diǎn)．對于題中條件“圓內(nèi)O的定點(diǎn)P”這一條件要審清．