Question

17．在△ABC中，已知B（-5，0），C（5，0），且sinC-sinB=$\frac{3}{5}$sinA，則點(diǎn)A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x＞3）．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理，得點(diǎn)A到B的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離之差為8，由此可得點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線的右支，且右頂點(diǎn)除外，結(jié)合雙曲線的基本概念即可算出所求軌跡方程．

解答 解：∵△ABC中，sinC-sinB=$\frac{3}{5}$sinA，
∴由正弦定理，得|AB|-|AC|=$\frac{3}{5}$|BC|
∵B（-5，0），C（5，0），得|BC|=10
∴|AB|-|AC|=6，
點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，（右頂點(diǎn)除外）
可得c=5，a²=9，b²=c²-a²=16．
∴所求點(diǎn)A的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x＞3）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x＞3）．

點(diǎn)評(píng) 本題給出滿足條件的三角形，求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程，著重考查了正弦定理與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．