Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點，
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）利用ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，證明CC₁⊥AC，利用AB²=AC²+BC²，說明AC⊥CB，證明AC⊥平面C₁CB₁B，推出AC⊥BC₁．
（2）設CB₁∩BC₁=E，說明E為C₁B的中點，說明AC₁∥DE，然后證明AC₁∥平面CDB₁．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC…（2分）
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥CB …（4分）
又C₁C∩CB=C，
∴AC⊥平面C₁CB₁B，又BC₁?平面C₁CB₁B，
∴AC⊥BC₁…（7分）
（2）設CB₁∩BC₁=E，
∵C₁CBB₁為平行四邊形，
∴E為C₁B的中點…（10分）
又D為AB中點，
∴AC₁∥DE…（12分）
DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁…（14分）

點評 本題考查直線與平面垂直，直線與直線垂直，直線與平面平行的證明，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．