Question

2．銳角△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（2，c），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2}$cosC-sinA，cosB），已知b=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B；
（2）求△ABC面積的最大值及此時另外兩個邊a，c的長．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用正弦定理求B角；（2）注意題中三角形為銳角三角形，應(yīng)用化一公式求得面積最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$
即bcosC+ccosB=2sinA
2RsinBcosC+2RsinCcosB=2sinA
2Rsin（B+C）=2sinA
2RsinA=2sinA
∴2R=2
∵$b=2RsinB=\sqrt{3}$
∴$sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵$0＜B＜\frac{π}{2}$∴$B=\frac{π}{3}$
（2）S=$\frac{1}{2}acsinB$═$\frac{\sqrt{3}}{4}ac$=$\frac{\sqrt{3}}{4}•2RsinA•2RsinC$
=$\sqrt{3}sinAsinC$
=$\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}-C）sinC$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin（2C-\frac{π}{6}）+\frac{\sqrt{3}}{4}$
∵三角形為銳角三角形
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜C＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-C＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$即$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$
∴$當(dāng)2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}即C=\frac{π}{3}時，S取得最大值$$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
此時$A=B=C=\frac{π}{3}$∴$a=b=c=\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理和三角函數(shù)化一求最值．