Question

13．（1）已知：△ABC的三條邊分別為a，b，c．求證：$\frac{a+b}{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$；
（2）已知a、b、c∈R⁺，a+b+c=1，求證$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用分析法證明，運(yùn)用不等式的性質(zhì)和三角形的三邊的關(guān)系，即可得證．
（2）利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式即可證明．

解答 證明：（1）要 證$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$成立，
只需證 $1-\frac{1}{1+a+b}＞1-\frac{1}{1+c}$只需證 $-\frac{1}{1+a+b}＞-\frac{1}{1+c}$，
只需證 $\frac{1}{1+a+b}＜\frac{1}{1+c}$只需證 1+c＜1+a+b，只需證c＜a+b
∵a，b，c是△ABC的三條邊∴c＜a+b成立，原不等式成立．…（6分）
（2）∵a+b+c=1
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}+\frac{a+b+c}{c}$=$（1+\frac{a}+\frac{c}{a}）+（\frac{a}+1+\frac{c}）+（\frac{a}{c}+\frac{c}+1）$
=$3+（\frac{a}+\frac{a}）+（\frac{c}{a}+\frac{a}{c}）+（\frac{c}+\frac{c}）$
∵$\frac{a}+\frac{a}≥2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}=2$，同理：$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}≥2$，$\frac{c}+\frac{c}≥2$．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}≥3+2+2+2=9$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查分析法與綜合法的運(yùn)用，注意運(yùn)用分析法證明，結(jié)合不等式的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，考查推理能力，屬于中檔題．