Question

20．已知點H（-6，0），點P（0，b）在y軸上，點Q（a，0）在x軸的正半軸上，且滿足$\overrightarrow{HP}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，點M在直線PQ上，且滿足$\overrightarrow{PM}$-2$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{0}$，
（Ⅰ）當(dāng)點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點T（-1，0）作直線l與軌跡C交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸的交點為E（x₀，0），設(shè)線段AB的中點為D，且2|DE|=$\sqrt{3}$|AB|，求x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），求得$\overrightarrow{HP}$、$\overrightarrow{PQ}$、$\overrightarrow{PM}$、$\overrightarrow{MQ}$的坐標(biāo)，運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，向量共線的坐標(biāo)表示，運用代入法，即可得到所求軌跡方程；
（Ⅱ）由題意知直線l：y=k（x+1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立拋物線的方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，以及弦長公式，化簡整理，解方程即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），
則$\overrightarrow{HP}=（6\;，\;\;b）$，$\overrightarrow{PQ}=（a\;，\;\;-b）$，$\overrightarrow{PM}=（x\;，\;\;y-b）$，
$\overrightarrow{MQ}=（a-x\;，\;\;-y）$，
由$\overrightarrow{HP}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，得6a-b²=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由$\overrightarrow{PM}$-2$\overrightarrow{MQ}$=0，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=2（a-x）}\\{y-b=-2y}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}x}\\{b=3y}\end{array}}\right.$，
則由6a-b²=0得y²=x，
故點M的軌跡C的方程為y²=x（x＞0）；　　　　　
（Ⅱ）由題意知直線l：y=k（x+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）\;，\;\;}\\{{y^2}=x\;，\;\;}\end{array}}\right.$得k²x²+（2k²-1）x+k²=0（k≠0），
由△=（2k²-1）²-4k⁴=1-4k²＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{1}{k^2}-2\;，\;\;{x_1}{x_2}=1$，
∴$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{1}{2k}$，
∴$D（\frac{1}{{2{k^2}}}-1\;，\;\;\frac{1}{2k}）$，
${l_{DE}}：y=-\frac{1}{k}（x-\frac{1}{{2{k^2}}}+1）+\frac{1}{2k}$，
令y=0，解得${x_0}=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{{2{k^2}}}=\frac{1}{{2{k^2}}}-\frac{1}{2}$，
∴$E（\frac{1}{{2{k^2}}}-\frac{1}{2}\;，\;\;0）$，
∴$|DE|=\sqrt{{{（\frac{1}{2}）}^2}+{{（\frac{1}{2k}）}^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{1+{k^2}}}{k^2}}$，
∴$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|═\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{1-4{k^2}}}}{k^2}$，
∵$2|DE|=\sqrt{3}|AB|$，
故有$\frac{{\sqrt{3}×\sqrt{1+{k^2}}×\sqrt{1-4{k^2}}}}{k^2}=2\frac{{|\frac{{1+{k^2}}}{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
則$\frac{{\sqrt{3}×\sqrt{1-4{k^2}}}}{k^2}=|\frac{1}{k}|$，化簡得${k^2}=\frac{3}{13}$，此時${x_0}=\frac{5}{3}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用向量共線和垂直的條件，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．