Question

12．已知△ABC的三個頂點均在拋物線y²=x上，邊AC的中線BM∥x軸，|BM|=2，則△ABC的面積為$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作AH⊥BM交BM的延長線于H，求出|BM|，|AH|，即可求得△ABC的面積．

解答 解：根據題意設A（a²，a），B（b²，b），C（c²，c），不妨設a＞c，
∵M為邊AC的中點，∴$M（{\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}，\frac{a+c}{2}}）$，又BM∥x軸，則$b=\frac{a+c}{2}$，
故$|{BM}|=|{\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}-{b^2}}|=|{\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}-\frac{{{{（{a+c}）}^2}}}{4}}|=\frac{{{{（{a-c}）}^2}}}{4}=2$，
∴（a-c）²=8，即$a-c=2\sqrt{2}$，
作AH⊥BM交BM的延長線于H．
故${S_{△ABC}}=2{S_{△ABM}}=2×\frac{1}{2}|{BM}|•|{AH}|=2|{a-b}|=2|{a-\frac{a+c}{2}}|=a-c=2\sqrt{2}$．
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角形面積的計算，考查拋物線的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．