Question

3．已知函數(shù)f（x）=1+x-alnx（a∈R）
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)f（x）有最小值，且最小值大于2a時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，求f'（1）的值，直接利用直線方程的點(diǎn)斜式寫直線方程；
（Ⅱ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）分類討論a的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，利用最小值大于2a，求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=1+x-alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），且$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$．                                         …（1分）
∴f（1）=2，f'（1）=1-a，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y=（1-a）（x-1）+2．    …（4分）
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$．
∴當(dāng)a≤0時(shí)，$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}＞0$，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}＞0$得x＞a，
∴f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．                …（7分）
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．                                          …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）無最小值．                                             …（9分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（a）=1+a-alna．                        …（10分）
由f（x）_min=f（a）=1+a-alna＞2a得$lna-\frac{1}{a}+1＜0$．       …（11分）
令$g（a）=lna-\frac{1}{a}+1$，則$g'（a）=\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}＞0$，
∴g（a）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g（1）=0，
∴a∈（0，1）時(shí)g（a）＜0，即$lna-\frac{1}{a}+1＜0$，
∴a的取值范圍是（0，1）．                               …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵，屬于中檔題．