Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C上．（1）求C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（0，-$\frac{1}{3}$）的動(dòng)直線L交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)頂點(diǎn)T，使得無(wú)論如何L轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T？若存在，求出T點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得橢圓方程；
（2）分別求出l與x軸平行時(shí)和L與x軸垂直時(shí)的圓的方程，聯(lián)立可求得兩圓的切點(diǎn)，進(jìn)而推斷所求的點(diǎn)T如果存在只能是（0，1）．當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）；當(dāng)直線L不垂直于x軸設(shè)直線L的方程y=kx-$\frac{1}{3}$，橢圓方程聯(lián)立求得$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=0，運(yùn)用恒成立思想即可得到，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
且a²-b²=c²，
又點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C上，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
則橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)T（u，v）．若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx-$\frac{1}{3}$，
將它代入橢圓方程，并整理，得（9+18k²）x²-12kx-16=0，
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{12k}{9+18{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{16}{9+18{k}^{2}}$，
因?yàn)?\overrightarrow{TA}$=（x₁-u，y₁-v），$\overrightarrow{TB}$=（x₂-u，y₂-v）及y₁=kx₁-$\frac{1}{3}$，y₂=kx₂-$\frac{1}{3}$，
所以$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=（x₁-u）（x₂-u）+（y₁-v）（y₂-v）
=（1+k²）x₁x₂-（u+$\frac{1}{3}$k+kv）（x₁+x₂）+u²+v²+$\frac{2v}{3}$+$\frac{1}{9}$
=（1+k²）（-$\frac{16}{9+18{k}^{2}}$）-（u+$\frac{1}{3}$k+kv）•$\frac{12k}{9+18{k}^{2}}$+u²+v²+$\frac{2v}{3}$+$\frac{1}{9}$
=$\frac{（6{u}^{2}+6{v}^{2}-6）{k}^{2}-4ku+（3{u}^{2}+3{v}^{2}+2v-5）}{9+18{k}^{2}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=0恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T，
所以$\left\{\begin{array}{l}{6{u}^{2}+6{v}^{2}-6=0}\\{u=0}\\{3{u}^{2}+3{v}^{2}+2v-5=0}\end{array}\right.$，解得u=0，v=1，
此時(shí)以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（0，1）．
當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為x²+y²=1也過(guò)點(diǎn)T（0，1）．
綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1），滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與橢圓的綜合問(wèn)題．常需要把直線與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找到解決問(wèn)題的突破口，同時(shí)考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．