Question

如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=AD=2A₁B₁，∠BAD=60°
（1）證明：BB₁⊥AC；
（2）若AB=2，且二面角A₁-AB-C大小為60°，連接AC，BD，設(shè)交點(diǎn)為O，連接B₁O．求三棱錐B₁-ABO外接球的體積．
（球體體積公式：V=

4

3

πR³，R是球半徑）

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）底面平行四邊形ABCD中，AB=AD，可得四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又DD₁⊥平面ABCD，可得DD₁⊥AC，因此AC⊥平面BDD₁，即可證明．
（2）四邊形ABCD為平行四邊形，可得OD=

1

2

BD．由棱臺定義及AB=AD=2A₁B₁知D₁B₁∥DO，且D₁B₁=DO，可證：邊四形D₁B₁OD為平行四邊形，得到DD₁∥B₁O．
可得B₁O⊥平面ABCD，即B₁O⊥AO，B₁O⊥BO．由（1）知AC⊥BD于點(diǎn)O，即AO⊥BO，以DB，AC，OB₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
設(shè)B₁（0，0，h），則D₁（-1，0，h）；設(shè)A₁（a，b，h） （h＞0）．則

DA

=（1，-

3

，0），

D1A1

=（a+1，b，0），設(shè)平面A₁AB的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則

AA1 • n =0 AB • n =0

，可得

n

，又已知平面ABC的一個法向量

m

=(0，0，1)由二面角A₁-AB-C大小為60°，可得|cos＜

n

，

m

＞|=

3 h

9+3+ 9 h2

=

1

2

，解得h．利用三棱錐B₁-ABO外接球的直徑就是以O(shè)A，OB，OB₁為三條棱的長方體的體對角線，求出即可得出．

解答： （1）證明：底面平行四邊形ABCD中，連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，
∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，又BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
又∵四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱DD₁與BB₁延長后交于一點(diǎn)，
∴BB₁?平面BDD₁，∴AC⊥BB₁．即BB₁⊥AC．
（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OD=

1

2

BD．
由棱臺定義及AB=AD=2A₁B₁知D₁B₁∥DO，且D₁B₁=DO，
∴邊四形D₁B₁OD為平行四邊形，∴DD₁∥B₁O．
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴B₁O⊥平面ABCD，即B₁O⊥AO，B₁O⊥BO．
由（1）知AC⊥BD于點(diǎn)O，即AO⊥BO
以DB，AC，OB₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則
A（0，-

3

，0），B（1，0，0），D（-1，0，0），設(shè)B₁（0，0，h），則D₁（-1，0，h）；設(shè)A₁（a，b，h）    （h＞0）
則

DA

=（1，-

3

，0），

D1A1

=（a+1，b，0），
∵

D1A1

=

1

2

DA

，
∴a=-

1

2

，b=-

3

2

．即A₁（-

1

2

，-

3

2

，h）．
∴

AA1

=(-

1

2

，

3

2

，h)，

AB

=(1，

3

，0)
設(shè)平面A₁AB的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

AA1 • n =0 AB • n =0

，即

- 1 2 x+ 3 2 y+hz=0 x+ 3 y=0

取y=

3

，則x=-3，z=-

3

h

即

n

=(-3，

3

，-

3

h

)，
又已知平面ABC的一個法向量

m

=(0，0，1)，
由二面角A₁-AB-C大小為60°，可得|cos＜

n

，

m

＞|=

3 h

9+3+ 9 h2

=

1

2

，
解得：h=

3

2

即棱臺的高為

3

2

∵B₁O⊥AO，B₁O⊥BO，AO⊥BO，
∴三棱錐B₁-ABO外接球的直徑就是以O(shè)A，OB，OB₁為三條棱的長方體的體對角線，長為

( 3 )2+12+( 3 2 )2

=

5

2

，
∴外接球半徑R=

5

4

，
∴外接球體積為V=

4

3

πR3=

4

3

π×(

5

4

)3=

125π

48

．

點(diǎn)評：本題考查了向量相互垂直與數(shù)量積的關(guān)系證明線面垂直、利用法向量的夾角求出二面角的方法、長方體外接球的體積計算公式、平行四邊形與菱形的性質(zhì)，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．