Question

8．定義：如果一個菱形的四個頂點均在一個橢圓上，那么該菱形叫做這個橢圓的內(nèi)接菱形，且該菱形的對角線的交點為這個橢圓的中心．
如圖，在平面直角坐標系xOy中，設橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1的所有內(nèi)接菱形構(gòu)成的集合為F．
（1）求F中菱形的最小的面積；
（2）是否存在定圓與F中的菱形都相切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，說明理由；
（3）當菱形的一邊經(jīng)過橢圓的右焦點時，求這條邊所在的直線的方程．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出當菱形ABCD的對角線在坐標軸上時的面積；當菱形ABCD的對角線不在坐標軸上時，設直線AC的方程為：y=kx，則直線BD的方程為：$y=-\frac{1}{k}x$，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得OA、OB，代入菱形面積公式，轉(zhuǎn)化為關于k的函數(shù)，再由基本不等式求最值；
（2）設原點到菱形任一邊的距離為d，結(jié)合（1）利用等積法求得d為定值，說明存在定圓與F中的菱形都相切，并求得圓的方程；
（3）設菱形的一邊AD的方程為$y=t（{x-\sqrt{3}}）$，化為一般式，由（2）結(jié)合點到直線的距離公式求得t得答案．

解答 解：（1）如圖，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當菱形ABCD的對角線在坐標軸上時，其面積為$4×\frac{1}{2}×2×1=4$；
②當菱形ABCD的對角線不在坐標軸上時，設直線AC的方程為：y=kx，
則直線BD的方程為：$y=-\frac{1}{k}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得${x_1}^2=\frac{4}{{4{k^2}+1}}$，${y_1}^2=\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，
從而$O{A^2}={x_1}^2+{y_1}^2=\frac{{4（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+1}}$，
同理可得，$O{B^2}={x_2}^2+{y_2}^2=\frac{{4[{{{（{-\frac{1}{k}}）}^2}+1}]}}{{4{{（{-\frac{1}{k}}）}^2}+1}}=\frac{{4（{k^2}+1）}}{{{k^2}+4}}$，
∴菱形ABCD的面積為2×OA×OB=$8\sqrt{\frac{{{k^4}+2{k^2}+1}}{{4{k^4}+17{k^2}+4}}}$=$4\sqrt{\frac{{{k^4}+2{k^2}+1}}{{{k^4}+\frac{17}{4}{k^2}+1}}}$
=$4\sqrt{1-\frac{{\frac{9}{4}{k^2}}}{{{k^4}+\frac{17}{4}{k^2}+1}}}$=$4\sqrt{1-\frac{9}{{4（{{k^2}+\frac{1}{k^2}}）+17}}}$$≥4\sqrt{1-\frac{9}{{4×2\sqrt{{k^2}×\frac{1}{k^2}}+17}}}$=$\frac{16}{5}$．
（當且僅當k=±1時等號成立），
綜上得，菱形ABCD的最小面積為$\frac{16}{5}$；
（2）存在定圓${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$與F中菱形的都相切．
設原點到菱形任一邊的距離為d，下面證明：$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$．
證明：由（1）知，當菱形ABCD的對角線在坐標軸上時，$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
當菱形ABCD的對角線不在坐標軸上時，
${d^2}=\frac{{O{A^2}×O{B^2}}}{{O{A^2}+O{B^2}}}$=$\frac{{\frac{{4（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+1}}×\frac{{4（{k^2}+1）}}{{{k^2}+4}}}}{{\frac{{4（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+1}}+\frac{{4（{k^2}+1）}}{{{k^2}+4}}}}$=$\frac{{4{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（{k^2}+1）（{k^2}+4）+（{k^2}+1）（4{k^2}+1）}}$
=$\frac{{4{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（{k^2}+1）（5{k^2}+5）}}=\frac{4}{5}$，即得$d=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$．
綜上，存在定圓${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$與F中的菱形都相切；
（3）設直線AD的方程為$y=t（{x-\sqrt{3}}）$，即$tx-y-\sqrt{3}t=0$，
則點O（0，0）到直線AD的距離為$\frac{{|{\sqrt{3}t}|}}{{\sqrt{{t^2}+1}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
解得$t=±\frac{{2\sqrt{11}}}{11}$，
直線AD的方程為$y=±\frac{{2\sqrt{11}}}{11}（{x-\sqrt{3}}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，訓練了存在想問題的求解方法，屬于難題．