Question

16．設(shè)x₁、x₂分別是關(guān)于x的方程x²+mx+m²-m=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么過(guò)兩點(diǎn)A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直線與圓（x-1）²+（y+1）²=1的位置關(guān)系是（　　）

• A． 相離
• B． 相切
• C． 相交
• D． 隨m的變化而變化

Answer 1

分析 根據(jù)方程x²+mx+m²-m=0根的判別式大于0，算出0＜m＜$\frac{4}{3}$，由根與系數(shù)的關(guān)系算出x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m．再利用直線的斜率公式算出AB的斜率k=-m，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出AB的中點(diǎn)為M（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{2}$m²+m），得出直線AB的方程為mx+y+m²-m=0．最后利用點(diǎn)到直線的距離公式，算出已知圓的圓心C到直線AB的距離小于圓C的半徑，可得直線與圓的位置關(guān)系是相交．

解答 解：∵x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²+mx+m²-m=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=m²-4（m²-m）＞0，即0＜m＜$\frac{4}{3}$，且x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m，
可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-m²+2m，
因此，直線AB的斜率k=x₁+x₂=-m，
AB的中點(diǎn)為M（$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），$\frac{1}{2}$（x₁²+x₂²）），即M（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{2}$m²+m）
∴直線AB的方程為y-（-$\frac{1}{2}$m²+m）=-m（x+$\frac{1}{2}$m），化簡(jiǎn)得mx+y+m²-m=0
又∵圓（x-1）²+（y+1）²=1的圓心坐標(biāo)為C（1，-1），半徑r=1，
∴圓心C到直線AB的距離為d=$\frac{|{m}^{2}-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∵0＜m＜$\frac{4}{3}$，可得d=$\frac{|{m}^{2}-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$＜1，
∴圓心C到直線AB的距離小于圓C的半徑，可得直線與圓的位置關(guān)系是相交．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．