Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），記|f（x）|的最大值為A．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求A；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求A．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式和二次函數(shù)的值即可求出
（2）a的取值，利用分類討論的思想，結(jié)合換元法，以及一元二次函數(shù)的最值的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2cos2x+cosx+1=4cos²x+cosx+1=4（cosx+$\frac{1}{8}$）²-$\frac{17}{16}$，
∵cosx∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-$\frac{17}{16}$，4]，
∴A=4．
（2）f（x）=2acos²x-a+（a-1）cosx+a-1=2acos²x+（a-1）cosx-1，
令cosx=t∈[-1，1]，
則f（t）=2at²+（a-1）t-1=2a（t-$\frac{1-a}{4a}$）²-1-$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$
當(dāng)$\frac{1-a}{4a}$≥1即0＜a≤$\frac{1}{5}$時(shí)，f（-1）=a，f（1）=3a-2，
∵|a|＜|3a-2|，
∴A=2-3a，
當(dāng)0≤$\frac{1-a}{4a}$＜1，即$\frac{1}{5}$＜a≤1時(shí)，
∵|f（$\frac{1-a}{4a}$）|=1+$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$＞|f（-1）|=a，
∴A=1+$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$
當(dāng)-1＜$\frac{1-a}{4a}$＜0，即a＞1時(shí)，此時(shí)|f（$\frac{1-a}{4a}$）|=1+$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$，|f（1）|=3a-2，
∵3a-2-1-$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$=$\frac{（a-1）（25a-1）}{8a}$＞0
∴A=3a-2，
綜上所述A=$\left\{\begin{array}{l}{2-3a，0＜a≤\frac{1}{5}}\\{\frac{{a}^{2}+6a+1}{8a}，\frac{1}{5}＜a＜1}\\{3a-2，a≥1}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)和最值，轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．