Question

2．我國加入WTO時，根據達成的協(xié)議，若干年內某產品的關稅稅率t、市場價格x（單位：元）與市場供應量P之間滿足關系式：P=2${\;}^{（l-kt）（x-b）^{2}}$，其中b，k為正常數，當t=0.75時，P關于x的函數的圖象如圖所示：
（1）試求b，k的值；
（2）記市場需求量為Q，它近似滿足Q（x）=2^-x，當時P=Q，市場價格稱為市場平衡價格，當市場平衡價格不超過4元時，求稅率的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據圖象求出k、b的值．
（2）當p=q時，可得2^{（1-t）（x-5）2}=2^-x，可求得t=1+$\frac{1}{x+\frac{25}{x}-10}$，由雙勾函數f（x）=x+$\frac{25}{x}$在（0，4]上單調遞減，可知當x=4時，f（x）有最小值．

解答 解：（1）由圖可知，t=0.75時有$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{（1-0.75t）（5-b）^{2}=1}}\\{{2}^{（1-0.75t）（7-b）^{2}=7}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=5}\end{array}\right.$；
（2）當P=Q時，得${2}^{（1-t）（x-5）^{2}}$=2^-x，
解得：t=1+$\frac{x}{（x-5）^{2}}$=1+$\frac{1}{x+\frac{25}{x}-10}$，
而f（x）=x+$\frac{25}{x}$在（0，4]上單調遞減，
∴當x=4時，f（x）有最小值$\frac{41}{4}$，
此時t=1+$\frac{1}{x+\frac{25}{x}-10}$，
取得最大值5；
故當x=4時，關稅稅率的最大值為500%．

點評 本題主要考查函數模型的應用，考查了指數方程的解法和雙勾函數最值的求法．