Question

17．已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0及點Q（-2，3），
（1）若點P（m，m+1）在圓C上，求PQ的斜率；
（2）若點M是圓C上任意一點，求|MQ|的最大值、最小值；
（3）若N（a，b）在圓C上，求z=$\frac{b-3}{a+2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 圓C：x²+y²-4x-14y+45=0可化為（x-2）²+（y-7）²=8．
（1）點P（m，m+1）在圓C上，代入圓的方程，解得m，利用斜率計算公式即可得出．
（2）如圖，點M是圓C上任意一點，Q（-2，3）在圓外，|MQ|的最大值、最小值分別是|QC|+r，|QC|-r．利用兩點之間的距離公式即可得出．
（3）點N在圓C：x²+y²-4x-14y+45=0上，z=$\frac{b-3}{a+2}$表示的是定點Q（-2，3）與圓上的動點N連線l的斜率．直線和圓有公共點，利用圓心到直線的距離d≤r即可得出．

解答 解：圓C：x²+y²-4x-14y+45=0可化為（x-2）²+（y-7）²=8．
（1）點P（m，m+1）在圓C上，
∴m²+（m+1）²-4m-14（m+1）+45=0，解得m=4，
故點P（4，5）．∴PQ的斜率是k_PQ=$\frac{5-3}{4+2}$=$\frac{1}{3}$．
（2）如圖，點M是圓C上任意一點，Q（-2，3）在圓外，
∴|MQ|的最大值、最小值分別是|QC|+r，|QC|-r．
易求|QC|=4$\sqrt{2}$，r=2$\sqrt{2}$，
∴|MQ|_max=6$\sqrt{2}$，|MQ|_min=2$\sqrt{2}$．
（3）點N在圓C：x²+y²-4x-14y+45=0上，
z=$\frac{b-3}{a+2}$表示的是定點Q（-2，3）與圓上的動點N連線l的斜率．
設(shè)l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0．
直線和圓有公共點，d≤r，即$\frac{|2k-7+2k+3|}{\sqrt{k2+1}}$≤2$\sqrt{2}$，
解得 2-$\sqrt{3}$≤k≤2+$\sqrt{3}$，∴z=$\frac{b-3}{a+2}$的取值范圍為[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了點及其直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．