Question

10．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}}]$時(shí)，求函數(shù)$y=f（{x+\frac{π}{12}}）-\sqrt{2}f（{x+\frac{π}{3}}）$的最值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）的部分圖象，求出最小正周期T得ω；由f（$\frac{π}{3}$）=A求出φ，由f（0）=2求出A即得f（x）解析式；
（2）化函數(shù)y為正弦型函數(shù)，求出$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}}]$時(shí)函數(shù)y的最大、最小值即可．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象知，
$\frac{3}{4}$T=$\frac{11π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，
∴T=2π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=1；
又f（$\frac{π}{3}$）=Asin（$\frac{π}{3}$+φ）=A，且0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$；
∴f（0）=Asin$\frac{π}{6}$=2，
∴A=4；
∴f（x）=4sin（x+$\frac{π}{6}$）；
（2）函數(shù)$y=f（{x+\frac{π}{12}}）-\sqrt{2}f（{x+\frac{π}{3}}）$
=4sin（x+$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）-4$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）
=4sin（x+$\frac{π}{4}$）-4$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{2}$）
=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-4$\sqrt{2}$cosx
=2$\sqrt{2}$sinx-2$\sqrt{2}$cosx
=4sin（x-$\frac{π}{4}$）；
當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}}]$時(shí)，x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{6}$]；
∴x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)y取得最小值-4；
x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)y取得最大值-2．

點(diǎn)評 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換的應(yīng)用問題，是綜合題．