Question

20．已知0≤φ＜π，函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos（2x+φ）+{sin^2}x$．
（Ⅰ）若$φ=\frac{π}{6}$，求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$，求φ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，通過正弦函數(shù)的單調性求解即可．
（Ⅱ）利用函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{3}{2}$，通過求解方程求解即可．

解答 （本小題滿分14分）
（Ⅰ）由題意$f（x）=\frac{1}{4}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+\frac{1}{2}$…（3分）
=$\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{3}）+\frac{1}{2}$…（5分）
由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ$，得$kπ-\frac{2π}{3}≤x≤kπ-\frac{π}{6}$．
所以單調f（x）的單調遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]$，k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）由題意$f（x）=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosφ-\frac{1}{2}）cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinφsin2x+\frac{1}{2}$，…（10分）
由于函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{3}{2}$，即${（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosφ-\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinφ）^2}=1$，…（12分）
從而cosφ=0，又0≤φ＜π，故$φ=\frac{π}{2}$．                         …（14分）

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的單調性的應用，考查計算能力．