Question

設對任意實數(shù)x，不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立
（1）求m的取值范圍；
（2）當m取最大值時，設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明不等式，

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥

m

8

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）要使不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x-1|的最小值大于或等于m，問題轉化為求f（x）的最小值．
（2）當m取最大值8時，原不等式等價于

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1，利用基本不等式可得結論．

解答： 解：（1）設f（x）=|x+7|+|x-1|，則有f（x）=

-6-2x，x≤-7 8，-7≤x≤1 2x+6，x≥1

，
當x≤-7時，f（x）有最小值8；當-7≤x≤1時，f（x）有最小值8；
當x≥1時，f（x）有最小值8．綜上f（x）有最小值8，所以，m≤8．
（2）當m取最大值時m=8，原不等式等價于

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1，
因為

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，所以

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+（a+b+c）≥2（a+b+c），即

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c，
所以

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，以及恒成立問題，考查均值不等式，體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想．在應用均值不等式時，注意等號成立的條件：一正二定三相等．