Question

設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)，設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明不等式，

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥

m

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）要使不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x-1|的最小值大于或等于m，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值．
（2）當(dāng)m取最大值8時(shí)，原不等式等價(jià)于

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=|x+7|+|x-1|，則有f（x）=

-6-2x，x≤-7 8，-7≤x≤1 2x+6，x≥1

，
當(dāng)x≤-7時(shí)，f（x）有最小值8；當(dāng)-7≤x≤1時(shí)，f（x）有最小值8；
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）有最小值8．綜上f（x）有最小值8，所以，m≤8．
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)m=8，原不等式等價(jià)于

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1，
因?yàn)?span id="eo0cpyh" class="MathJye">

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，所以

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+（a+b+c）≥2（a+b+c），即

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c，
所以

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，以及恒成立問(wèn)題，考查均值不等式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．在應(yīng)用均值不等式時(shí)，注意等號(hào)成立的條件：一正二定三相等．