Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），f′（x）為f（x）的導函數(shù)，若f′（x）是偶函數(shù)，且f′（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對于區(qū)間[1，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤c，其中g（x）=$\frac{1}{3}$f（x）-6lnx，求實數(shù)c的最小值；
（3）若過點M（2，m），能作曲線y=xf（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，由偶函數(shù)的定義，可得b=0，求得a=1，進而得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式，求得導數(shù)，分解因式，判斷g（x）在[1，2]的單調(diào)性，可得最值，要滿足題意，只需c≥|g（x₁）-g（x₂）|_max，計算即可得到c的最小值；
（3）設切點為（x₀，y₀），求出函數(shù)y的導數(shù)，切線的斜率和方程，代入（2，m），可得m=-3x₀⁴+8x₀³+3x₀²-12x₀，（*）設h（x）=-3x⁴+8x³+3x²-12x，求出h（x）的導數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得極值，由條件即可得到m的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x的導數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx-3，
f′（x）是偶函數(shù)，可得f′（-x）=f′（x），
即3ax²+2bx-3=3ax²-2bx-3，解得b=0，
又f′（1）=0，即3a-3=0，解得a=1，
即有f（x）=x³-3x；
（2）g（x）=$\frac{1}{3}$f（x）-6lnx=$\frac{1}{3}$x³-x-6lnx，
g′（x）=x²-1-$\frac{6}{x}$=$\frac{{x}^{3}-x-6}{x}$=$\frac{{x}^{3}-8-（x-2）}{x}$=$\frac{（x-2）（{x}^{2}+2x+3）}{x}$，
由x∈[1，2]，g′（x）＜0，g（x）在[1，2]遞減，
可得g（x）_max=g（1）=-$\frac{2}{3}$，g（x）_min=g（2）=$\frac{2}{3}$-6ln2，
若要滿足題意，只需c≥|g（x₁）-g（x₂）|_max=g（1）-g（2）=-$\frac{4}{3}$+6ln2，
即c_min=-$\frac{4}{3}$+6ln2；
（3）y=xf（x）=x⁴-3x²，設切點為（x₀，y₀），y₀=x₀⁴-3x₀²，
導數(shù)y′=4x³-6x，切線的斜率k=4x₀³-6x₀，
切線的方程為y-（x₀⁴-3x₀²）=（4x₀³-6x₀）（x-x₀），
將（2，m）代入可得m-（x₀⁴-3x₀²）=（4x₀³-6x₀）（2-x₀）
m=-3x₀⁴+8x₀³+3x₀²-12x₀，（*）
設h（x）=-3x⁴+8x³+3x²-12x，
可得h′（x）=-12x³+24x²+6x-12=-6（x-2）（2x²-1），
由h′（x）＞0可得x＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜2；
由h′（x）＜0可得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x＞2．
即有h（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）遞增；在（2，+∞），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）遞減．
可得h（x）在x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$處取得極大值$\frac{3}{4}$+4$\sqrt{2}$；在x=2處取得極大值為4；
在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$處取得極大值$\frac{3}{4}$-4$\sqrt{2}$．
可得m=4或$\frac{3}{4}$-4$\sqrt{2}$時，（*）有三解．
綜上可得實數(shù)m的取值范圍是{4，$\frac{3}{4}$-4$\sqrt{2}$}．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查構造函數(shù)法，運用導數(shù)求得極值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．