Question

10．已知空間三點A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，3）．設$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{AC}$，
（1）求$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夾角θ；
（2）若向量k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$互相垂直，求k的值．
（3）求|$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$|．

Answer 1

分析 （1）運用向量的夾角公式和夾角范圍，即可得到；
（2）運用向量垂直的條件，得到k的方程，計算即可得到．
（3）向量的模的公式，計算即可得到；

解答 解：（1）空間三點A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，3）．
設$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-1+0+0=-1，|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{2π}{3}$，
（2）（k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=k²|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow$|²=2k²-2=0，
解得k=±1，
（3）|$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow{a}$|²+9|$\overrightarrow$|²+6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2+9×2+6×（-1）=14．

點評 本題考查空間向量的坐標運算，考查空間向量是數(shù)量積的坐標表示，以及向量的模和向量共線和垂直的表示，考查運算能力，屬于中檔題．