Question

7．PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35-75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)，從某自然保護(hù)區(qū)2015年全年每天的PM2.5檢測(cè)值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）：
（Ⅰ）求空氣質(zhì)量為超標(biāo)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差；
（Ⅱ）從空氣質(zhì)量為二級(jí)的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求這2個(gè)數(shù)據(jù)的和小于100的概率；
（Ⅲ）以這12天的PM2.5日均值來估計(jì)2015年的空氣質(zhì)量情況，估計(jì)2015年（365天）大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意空氣質(zhì)量為超標(biāo)的數(shù)據(jù)有四個(gè)：77，79，84，88，由此能求出空氣質(zhì)量為超標(biāo)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差．
（Ⅱ）空氣質(zhì)量為二級(jí)的數(shù)據(jù)有五個(gè)，利用列舉法能求出從空氣質(zhì)量為二級(jí)的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，這2個(gè)數(shù)據(jù)的和小于100的概率．
（Ⅲ）空氣質(zhì)量為一級(jí)或二級(jí)的數(shù)據(jù)共8個(gè)，從而得到空氣質(zhì)量為一級(jí)或二級(jí)的頻率，由此能求出2015年的365天中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)估計(jì)值．

解答 解：（Ⅰ）由題意空氣質(zhì)量為超標(biāo)的數(shù)據(jù)有四個(gè)：77，79，84，88，
平均數(shù)為$\overline{x}$=$\frac{77+79+84+88}{4}$=82，
方差S²=$\frac{1}{4}$[（77-82）²+（79-82）²+（84-82）²+（88-82）²]=18.5．
（Ⅱ）空氣質(zhì)量為二級(jí)的數(shù)據(jù)有五個(gè)：47，50，53，57，68，
任取兩個(gè)有十種可能結(jié)果：{47，50}，{47，53}，{47，57}，{47，68}，{50，53}，
{50，57}，{50，68}，{53，57}，{53，68}，{57，68}，
兩個(gè)據(jù)和小于100的結(jié)果有一種：{47，50}，
∴從空氣質(zhì)量為二級(jí)的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，這2個(gè)數(shù)據(jù)的和小于100的概率p=$\frac{1}{10}$．
（Ⅲ）空氣質(zhì)量為一級(jí)或二級(jí)的數(shù)據(jù)共8個(gè)，
∴空氣質(zhì)量為一級(jí)或二級(jí)的頻率為$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，
365×$\frac{2}{3}$=243，
∴2015年的365天中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)估計(jì)為243天．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．