Question

16．已知曲線y=x²-1在x=x₀點(diǎn)處的切線與曲線y=1-x³在x=x₀處的切線互相平行，
（1）求x₀的值；
（2）試分別求出這兩條平行的切線方程；
（3）試分別求出這兩條切線之間的距離．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)在某點(diǎn)的切線斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，故2個(gè)函數(shù)在x₀點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等．
（2）求出切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率，即可得出結(jié)論；
（3）利用兩條平行線間的距離公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵對(duì)于函數(shù)y=x²-1，∴y'=2x，
∵對(duì)于函數(shù) y=1-x³，∴y'=-3x²，
∴由題意可得2x₀=-3x₀²，
解得x₀=0或x₀=-$\frac{2}{3}$．
（2）x₀=0，y'=0，兩條平行的切線方程為y=-1，y=1；
x₀=-$\frac{2}{3}$，y'=-$\frac{4}{3}$，y₀=x₀²-1=-$\frac{5}{9}$，切線方程為y+$\frac{5}{9}$=-$\frac{4}{3}$（x+$\frac{2}{3}$），即12x+9y+13=0；
x₀=-$\frac{2}{3}$，y'=-$\frac{4}{3}$，y₀=1-x₀³=$\frac{35}{27}$，切線方程為y-$\frac{35}{27}$=-$\frac{4}{3}$（x+$\frac{2}{3}$），即12x+9y+$\frac{11}{3}$=0；
（3）兩條平行的切線方程為y=-1，y=1，兩條切線之間的距離為2；
兩條平行的切線方程為12x+9y+13=0，12x+9y+$\frac{11}{3}$=0，兩條切線之間的距離為$\frac{|13-\frac{11}{3}|}{\sqrt{144+81}}$=$\frac{28}{45}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，利用了函數(shù)在某點(diǎn)的切線斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，考查切線方程，屬于中檔題．