Question

6．如圖，過頂點在原點O，對稱軸為y軸的拋物線E上的定點A（2，1）作斜率分別為k₁，k₂的直線，分別交拋物線E于B，C兩點．
（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；
（2）若k₁+k₂=k₁k₂，且△ABC的面積為8$\sqrt{5}$，求直線BC的方程．

Answer 1

分析 （1）拋物線E的方程為x²=2py，把點A的坐標(biāo)（2，1）代入x²=2py得p=2，即可求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)直線BC的方程為y=kx+m，與拋物線方程聯(lián)立，利用k₁+k₂=k₁k₂，結(jié)合韋達定理，利用△ABC的面積為8$\sqrt{5}$，求直線BC的方程．

解答 解：（1）拋物線E的方程為x²=2py，把點A的坐標(biāo)（2，1）代入x²=2py得p=2，
∴拋物線E的方程為x²=4y，其準(zhǔn)線方程為y=-1．
（2）∵B，C兩點在拋物線E上，∴直線BC的斜率存在，
設(shè)直線BC的方程為y=kx+m，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}=4y\end{array}\right.$⇒x²-4kx-4m=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，△=16k²+16m＞0，∴k²+m＞0
∵${y_1}=\frac{x_1^2}{4}$，${y_2}=\frac{x_2^2}{4}$，∴${k_1}=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-2}}=\frac{{\frac{1}{4}x_1^2-1}}{{{x_1}-2}}=\frac{{{x_1}+2}}{4}$，
同理，${k_2}=\frac{{{x_2}+2}}{4}$．
由k₁+k₂=k₁k₂，得$\frac{{{x_1}+2}}{4}+\frac{{{x_2}+2}}{4}=\frac{{（{x_1}+2）（{x_2}+2）}}{16}$
∴2（x₁+x₂）-x₁x₂+12=0，∴8k+4m+12=0，∴2k+m+3=0，∴m=-2k-3，
由△＞0得k＞3或k＜-1．
又$|BC|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}•4\sqrt{{k^2}+m}$，
點A（2，1）到直線BC的距離$d=\frac{|2k-1+m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$．
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|BC|d=2\sqrt{{k^2}+m}|2k-1+m|=8\sqrt{5}$，
又m=-2k-3，∴k²-2k-8=0，解得k=4或k=-2，都滿足△＞0．
當(dāng)k=4時，m=-2×4-3=-11，則直線BC的方程為：y=4x-11；
當(dāng)k=-2時，m=（-2）×（-2）-3=1，則直線BC的方程為：y=-2x+1．

點評 本題主要考查了拋物線的方程與幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入運算，這是處理這類問題的最為常用的方法．