Question

9．在Rt△ABC中，AB=AC，以C為一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一個焦點在AB內(nèi)，且橢圓過A．B點，則這個橢圓的離心率等于$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設另一焦點為D，則可再Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求得BC，進而根據(jù)橢圓的定義知AC+AB+BC=4a求得a．再利用AC+AD=2a求得AD最后在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理求得2c=CD，利用離心率公式即可求得答案．

解答 解：設另一焦點為D，
∵Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∵AC+AD=2a，
AC+AB+BC=1+1+$\sqrt{2}$=4a，
∴a=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
又∵AC=1，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△ACD中焦距2c=CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$
故答案為：$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)和解三角形的應用．考查橢圓的定義和橢圓中短軸，長軸和焦距的關系，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．