Question

17．如圖，點C為圓O上一點，CP為圓的切線，CE為圓的直徑，CP=3．
（1）若PE交圓O于點F，EF=$\frac{16}{5}$，求CE的長；
（2）若連接OP并延長交圓O于A，B兩點，CD⊥OP于D，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）證明△ECP∽△EFC，利用EF：CE=CE：EP，建立方程，即可求CE的長；
（2）由切割線定理CP²=BP（4+BP），求出BP，利用CD•OP=OC•CP，求出CD．

解答 解：（1）因為CP是圓O的切線，CE是圓O的直徑，
所以CP⊥CE，∠CFE=90°，所以△ECP∽△EFC，
設(shè)CE=x，$EP=\sqrt{{x^2}+9}$，
又因為△ECP∽△EFC，所以EF：CE=CE：EP，
所以${x^2}=\frac{16}{5}\sqrt{{x^2}+9}$，解得x=4．
（2）由切割線定理CP²=BP（4+BP），
∴BP²+4BP-9=0，
∴$BP=\sqrt{13}-2$，∴$OP=\sqrt{13}$，
所以CD•OP=OC•CP，∴$CD=\frac{OC•CP}{OP}=\frac{2×3}{{\sqrt{13}}}=\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查切割線定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．