Question

19．已知f（x）=xlnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）設F（x）=f（x）+g（x），求函數F（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求證：e^f（x）≥g（x）對任意的x∈（0，+∞）恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設F（x）=f（x）+g（x），求出切線斜率、切點坐標，即可求函數F（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）令$G（x）={e^{f（x）}}-g（x）={e^{xlnx}}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{2}$，證明G（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，G（x）_min=G（1）=0，即可證明：e^f（x）≥g（x）對任意的x∈（0，+∞）恒成立．

解答 （Ⅰ）解：$F（x）=f（x）+g（x）=xlnx+\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$，F'（x）=1+lnx+x，則F（1）=1，F'（1）=2，
∴F（x）圖象在x=1處的切線方程為y-1=2（x-1）即2x-y-1=0（3分）
（Ⅱ）證明：令$G（x）={e^{f（x）}}-g（x）={e^{xlnx}}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{2}$，G'（x）=e^xlnx（1+lnx）-x（4分）
則$G''（x）={e^{xlnx}}{（1+lnx）^2}+{e^{xlnx}}•\frac{1}{x}-1={e^{xlnx}}{（1+lnx）^2}+{e^{（x-1）lnx}}-1$
∵x-1與lnx同號∴（x-1）lnx≥0，∴e^（x-1）lnx-1≥0
∴G''（x）＞0，∴G'（x）在x∈（0，+∞）單調遞增                                 （6分）
又G'（1）=0，∴當0＜x＜1時，G'（x）＜0；當x＞1時，G'（x）＞0，
∴G（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，∴G（x）_min=G（1）=0
∴G（x）≥0即e^f（x）≥g（x）對任意的x∈（0，+∞）恒成立

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何運用，考查不等式的證明，正確構造函數，切點函數的單調性是關鍵．