Question

14．已知非零正實數(shù)x₁，x₂，x₃依次構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，設(shè)函數(shù)f（x）=x^α，α∈{-1，$\frac{1}{2}$，2，3}，并記M={-1，$\frac{1}{2}$，2，3}．下列說法正確的是（　�。�

• A． 存在α∈M，使得f（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等差數(shù)列
• B． 存在α∈M，使得f（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等比數(shù)列
• C． 當(dāng)α=2時，存在正數(shù)λ，使得f（x₁），f（x₂），f（x₃）-λ依次成等差數(shù)列
• D． 任意α∈M，都存在正數(shù)λ＞1，使得λf（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等比數(shù)列

Answer 1

分析 由等差數(shù)列得x₂=$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，假設(shè)各結(jié)論成立，將x₂=$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$代入結(jié)論推導(dǎo)結(jié)果看是否與條件一致進(jìn)行判斷．

解答 解：∵x₁，x₂，x₃依次構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，∴x₂=$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，且x₁，x₂，x₃兩兩不相等．
（1）∵當(dāng)α∈M時，f（x）的變化率隨x的變化而變化，∴f（x₁），f（x₂），f（x₃）不可能成等差數(shù)列，故A錯誤；
（2）若f（x₁），f（x₂），f（x₃）成等比數(shù)列，則x₁^αx₃^α=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）^2α，∴x₁x₃=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）²，
整理得（x₁-x₃）²=0，∴x₁=x₃．與x₁，x₂，x₃依次構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列相矛盾，故B錯誤．
（3）當(dāng)α=2時，假設(shè)f（x₁），f（x₂），f（x₃）-λ依次成等差數(shù)列，
則x₁²+x₃²-λ=2（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）²，∴λ=x₁²+x₃²-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}}{2}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{3}）^{2}}{2}$＞0．故C正確；
（4）假設(shè)λf（x₁），f（x₂），f（x₃）依次成等比數(shù)列，
則λx₁^αx₃^α=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）^2α，∴λ=$[\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}}{4{x}_{1}{x}_{3}}]^{α}$，∵$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}}{4{x}_{1}{x}_{3}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{3}}{4{x}_{1}{x}_{3}}$≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₃取等號．
∴當(dāng)α＞0時，λ＞1，當(dāng)α＜0時，λ＜1．故D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查了等差，等比數(shù)列的性質(zhì)，冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．