(14分)(2011•廣東)設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿足a1=b,an=(n≥2)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,2an≤bn+1+1.
(1)(2)見解析
解析試題分析:(1)由題設(shè)形式可以看出,題設(shè)中給出了關(guān)于數(shù)列an的面的一個方程,即一個遞推關(guān)系,所以應(yīng)該對此遞推關(guān)系進(jìn)行變形整理以發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的規(guī)律,觀察發(fā)現(xiàn)若對方程兩邊取倒數(shù)則可以得到一個類似等差數(shù)列的形式,對其中參數(shù)進(jìn)行討論,分類求其通項即可.
(2)由于本題中條件較少,解題思路不宜用綜合法直接分析出,故求解本題可以采取分析法的思路,由結(jié)論探究其成立的條件,再證明此條件成立,即可達(dá)到證明不等式的目的.
解:(1)∵(n≥2),
∴(n≥2),
當(dāng)b=1時,(n≥2),
∴數(shù)列{}是以為首項,以1為公差的等差數(shù)列,
∴=1+(n﹣1)×1=n,即an=1,
當(dāng)b>0,且b≠1時,(n≥2),
即數(shù)列{}是以=為首項,公比為的等比數(shù)列,
∴=×=,即an=,
∴數(shù)列{an}的通項公式是
(2)證明:當(dāng)b=1時,不等式顯然成立
當(dāng)b>0,且b≠1時,an=,要證對于一切正整數(shù)n,2an≤bn+1+1,只需證2×≤bn+1+1,即證
∵
=
=(bn+1+1)×(bn﹣1+bn﹣2+…+b+1)
=(b2n+b2n﹣1+…+bn+2+bn+1)+(bn﹣1+bn﹣2+…+b+1)
=bn[(bn+bn﹣1+…+b2+b)+(++…+)]
≥bn(2+2+…+2)=2nbn
所以不等式成立,
綜上所述,對于一切正整數(shù)n,有2an≤bn+1+1,
點(diǎn)評:本題考點(diǎn)是數(shù)列的遞推式,考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項,研究數(shù)列的性質(zhì)的能力,本題中遞推關(guān)系的形式適合用取倒數(shù)法將所給的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為有規(guī)律的形式,兩邊取倒數(shù),條件許可的情況下,使用此技巧可以使得解題思路呈現(xiàn)出來.?dāng)?shù)列中有請多成熟的規(guī)律,做題時要注意積累這些小技巧,在合適的情況下利用相關(guān)的技巧,可以簡化做題.在(2)的證明中,采取了分析法的來探究解題的思路,通過本題希望能進(jìn)一步熟悉分析法證明問題的技巧.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和 ;
(3)在(2)的條件下,求使恒成立的實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列的前項和為,,,等差數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列,數(shù)列的通項公式;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{}是等差數(shù)列,其中每一項及公差均不為零,設(shè)=0()是關(guān)于的一組方程.
(1)求所有這些方程的公共根;
(2)設(shè)這些方程的另一個根為,求證,,,…, ,…也成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前項和滿足
(Ⅰ)證明為等比數(shù)列,并求的通項公式;
(Ⅱ)設(shè);求數(shù)列的前項和.
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