Question

10．若函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$與函數(shù)g（x）=kx的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的最大值是（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{e}$
• D． $\frac{1}{2e}$

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)（a，$\frac{lna}{a}$），（a＞0）為f（x）圖象上任意一點(diǎn)，
則它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（-a，-$\frac{lna}{a}$），由題意可知，-$\frac{lna}{a}$=-ka，
即方程$\frac{lna}{{a}^{2}}$=k有解，令h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
又h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
令h′（x）=0解得x=$\sqrt{e}$，當(dāng)x在（0，+∞）內(nèi)變化時(shí)，h′（x），h（x）變化如表：

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	↗	極大值$\frac{1}{2e}$	↘

由表知，當(dāng)x=$\sqrt{e}$時(shí)，函數(shù)h（x）有最大值，且最大值為$\frac{1}{2e}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值是求解，根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．