Question

9．定義：若m-$\frac{1}{2}$＜x$≤m+\frac{1}{2}$（m∈Z），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即m={x}，關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個命題：①定義域為R，值域為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]； ②點（k，0）是函數(shù)f（x）圖象的對稱中心（k∈Z）；③函數(shù)f（x）的最小正周期為1； ④函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函數(shù)．上述命題中，真命題的序號是①③．

Answer 1

分析 根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域；根據(jù)f（2k-x）與f（x）的關(guān)系，可以判斷函數(shù)y=f（x）的圖象是否關(guān)于點（k，0）（k∈Z）對稱；再判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；而由①的結(jié)論，易判斷函數(shù)y=f（x）在 （-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的單調(diào)性，但要說明④不成立，我們可以舉出一個反例

解答 解：①中，令x=m+a，a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
所以①正確；
②中，∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=$\left\{\begin{array}{l}0，m≤x≤m+\frac{1}{2}\\ 1，m-\frac{1}{2}＜x＜m\end{array}\right.$，
∴點（k，0）（k∈Z）不是y=f（x）的圖象的對稱中心；故②錯；
③中，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期為1，故③正確；
④中，x=-$\frac{1}{2}$時，m=-1，
f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$
x=$\frac{1}{2}$時，m=0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$
所以f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）
所以④錯誤．
故答案為：①③．

點評 本題考查的知識點是利用函數(shù)的三要素、性質(zhì)判斷命題的真假，我們要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結(jié)合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調(diào)性的證明方法，對4個結(jié)論進(jìn)行驗證．